1 引言
自二十世紀八十年代末美國率先提出“先進制造技術(shù)”的概念以來，對先進制造技術(shù)的研究與開發(fā)已在世界范圍內(nèi)受到普遍重視，我國也將先進制造技術(shù)列入“九五”國家重點科技發(fā)展領(lǐng)域之一�，F(xiàn)代先進制造技術(shù)通過對傳統(tǒng)制造技術(shù)的創(chuàng)新性發(fā)展，不斷吸收現(xiàn)代機械、電子、材料、信息、計算機、管理等前沿技術(shù)的最新成果，并將其綜合應用于產(chǎn)品的開發(fā)、設計、制造、檢測、管理、售后服務等制造全過程，以實現(xiàn)優(yōu)質(zhì)、高效、低耗、清潔、敏捷制造�，F(xiàn)代先進制造技術(shù)具有先進性、通用性、系統(tǒng)性、集成性等特點，正朝著精密化、自動化、柔性化、智能化和數(shù)字化的方向發(fā)展。
數(shù)字化曲面展成方法的研究就是為適應先進制造技術(shù)的需要而提出的，它對于解析表達式未知或非解析表達的曲面的精密加有重要的理論及實踐意義。
2 數(shù)字化曲面展成方法的研究
數(shù)字化曲面展成方法研究的實質(zhì)就是研究形成面與離散表達的數(shù)字化曲面的幾何關(guān)系及相對運動關(guān)系。此項研究主要涉及以下四個方面的內(nèi)容：①曲面的數(shù)字化； ②數(shù)字化曲面及其微觀特性；③數(shù)字化曲面的共軛理論；④數(shù)字化曲面的展成與應用。其中，曲面的數(shù)字化可為數(shù)字化曲面的形成提供數(shù)據(jù)前提；數(shù)字化曲面及其微觀特性的研究可為數(shù)字化曲面共軛理論的突破提供保證；數(shù)字化曲面的共軛理論可為數(shù)字化曲面展成問題的解決提供理論基礎(chǔ)；數(shù)字化曲面展成的應用則可對數(shù)字化曲面展成方法的有效性進行驗證。
曲面的數(shù)字化
曲面的數(shù)字化即是在控制精度的前提下合理確定曲面數(shù)據(jù)點的數(shù)量及其分布，其最終目的是為形成數(shù)字化曲面提供合理、精確的三維數(shù)據(jù)。曲面的數(shù)字化可分為真實曲面的數(shù)字化和虛擬曲面的數(shù)字化兩類。真實曲面的數(shù)字化是通過對實物模型或加工后的工件實體進行三維測量來實現(xiàn)的；虛擬曲面的數(shù)字化則是根據(jù)現(xiàn)代設計理論來進行的。
真實曲面的數(shù)字化
真實曲面的數(shù)字化是利用三維測量技術(shù)提取實體的三維數(shù)據(jù)，從而實現(xiàn)真實曲面的離散化。近年來，現(xiàn)代三維測量技術(shù)(包括傳感技術(shù)、控制技術(shù)、激光技術(shù)、計算機技術(shù)等相關(guān)技術(shù))的發(fā)展為真實曲面的數(shù)字化提供了必要的技術(shù)手段。在實現(xiàn)真實曲面的數(shù)字化時，最常用的三維非接觸測量方法是激光測量法。
虛擬曲面的數(shù)字化虛擬曲面的數(shù)字化即是砷計出以離散數(shù)據(jù)方式表達的數(shù)字化曲面�，F(xiàn)代設計理論及方法(包括優(yōu)化設計理論、現(xiàn)代有限元理論及邊界分析方法、 CAD/CAE技術(shù)等)的發(fā)展及應用使虛擬曲面的數(shù)字化成為可能。以離散數(shù)據(jù)方式表達的新型曲面的設計已成為曲面設計的重要發(fā)展方向。
數(shù)字化曲面及其微觀特性
近幾十年來，在生產(chǎn)實踐中出現(xiàn)了許多不能用數(shù)學表達式描述的曲面，如外形曲面中包含劇烈變化曲面的雕塑曲面、基于飛機、車身表面的自由曲面以及由眾多簡單曲面拼接而成的復雜曲面等。由于數(shù)字化曲面是通過對曲面的數(shù)字化處理而形成的，因此一般來說其具體數(shù)學表達式未知。目前，國內(nèi)對數(shù)字化曲面的研究處于起步階段。國外雖然從二十世紀八十年代即開始對數(shù)字化曲面進行研究，但對其迄今尚無公認的定義。通常認為，數(shù)字化曲面表示一個連續(xù)曲面的數(shù)字化點集合。數(shù)字化曲面不一定是一種真實存在的曲面，它可以三維矩陣形式存儲于計算機中。本文研究的數(shù)字化曲面分為兩種形式：一種是通過數(shù)字化設計計算得出；另一種是加工后經(jīng)過測量得出。
一般來說，曲面的微觀特性包括其法(主)矢、主方向、切矢、高斯曲率等。曲面的微觀特性影響曲面的傳動效率、加工質(zhì)量、受力狀況等。應用微分幾何理論可以對基于解析連續(xù)的一般曲面的微觀特性進行完備的描述，但對于只有離散點信息的數(shù)字化曲面卻無能為力。由于數(shù)字化曲面具有離散的特點，因此其微觀特性的求解方法也不同于一般曲面，如求法矢時可將法矢公式離散化，采用數(shù)值逼近方法求解；也可用圍繞某點的三角形面的法矢代替該點法矢；有人采用局部樣條的方法求解三點或五點中的中點切矢；還有用參數(shù)二次曲線求解主方向、用B樣條曲面求解法曲率、用三點圓弧方法求解法矢等多種方法。綜合分析可知，求解數(shù)字化曲面微觀特性的方法主要可分為數(shù)值方法和計算幾何方法。數(shù)值方法是將連續(xù)問題離散化，如在某一點用臺勞展開方法求解切矢；計算幾何方法主要是用樣條曲面將數(shù)字化曲面轉(zhuǎn)換為解析曲面，然后用解析曲面的微觀特性代替數(shù)字化曲面的微觀特性。但是，采用上述方法求解數(shù)字化曲面的微觀特性時，不可避免地存在一定的原理誤差(如用不同的樣條曲面擬合數(shù)字化曲面后求得的法矢并不相同)。
數(shù)字化曲面展成方法的研究對象是一對共軛曲面———刀具曲面與數(shù)字化曲面。根據(jù)共軛原理可知，通過求解刀具曲面的微觀特性，即可求得與其共軛的數(shù)字化曲面的微觀特性。
數(shù)字化曲面的共軛理論
共軛曲面理論的研究對象是幾何圖形及其共軛運動，它的任務是研究在機械加工、機械傳動條件下共軛幾何圖形與共軛運動之間的內(nèi)在聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)換，在實際應用中則體現(xiàn)為五類共軛曲面(曲率)的求解問題。
近幾十年來，在生產(chǎn)實踐中遇到了一些富于挑戰(zhàn)性的問題，如準雙曲線的嚙合、彈性齒輪的接觸等，這些傳動方式突破了傳統(tǒng)機械傳動理論的剛體假設規(guī)范及連續(xù)性假定，從而推動了共軛曲面理論的研究。共軛曲面理論研究的典型內(nèi)容包括研究成對彈性體曲面幾何圖形及其共軛運動的彈性共軛曲面原理、將手工推導計算轉(zhuǎn)換為計算機自適應處理的離散解析共軛曲面原理、突破了兩曲面必須連續(xù)相切接觸的假定、將模型轉(zhuǎn)換為標桿函數(shù)的共軛曲面數(shù)字仿真原理等。數(shù)字化共軛曲面理論主要研究由離散點集表達的數(shù)字化曲面與共軛解析曲面之間的聯(lián)系與運動，它突破了傳統(tǒng)共軛理論所要求的兩成對共軛曲面必須為解析曲面的限制，其實質(zhì)是要對傳統(tǒng)的解析共軛曲面原理進行數(shù)字化離散改造，即將其中的連續(xù)變量離散化。對于可離散化變量如位矢，可具體離散到某一點的位矢；對于不可離散化變量如某一點的法矢、曲率等有賴于對解析式求導的變量，則需要通過數(shù)學方法加以解決。因此，數(shù)字化共軛曲面理論需要解決如何將不可離散化變量離散化的問題。數(shù)字化共軛曲面理論脫胎于傳統(tǒng)的共軛解析理論，它應用現(xiàn)代數(shù)值方法，借助于計算機對數(shù)據(jù)的離散處理能力，將宏觀的、連續(xù)的曲面共軛問題轉(zhuǎn)化為微觀的、離散的點—點共軛問題。數(shù)字化共軛曲面理論將為數(shù)字化曲面的展成提供理論依據(jù)。
數(shù)字化曲面的展成與應用
數(shù)字化曲面的展成問題是數(shù)字化共軛曲面理論的第五類問題，即已知共軛的以解析方式表達的刀具曲面和以離散方式表達的數(shù)字化曲面(嚙合面)，求兩共軛曲面的共軛運動的問題。對于引入了離散表達曲面的共軛問題，國內(nèi)外學者進行了大量研究。有人嘗試采用自由曲面加工方法來加工數(shù)字化曲面，但發(fā)現(xiàn)加工精度往往難以達到要求。有人提出用離散表達的刀具曲面來求解所加工的工件輪廓曲面，其中離散點可分為兩種情況：①已知各離散點的坐標及切線斜率，求解方法是從刀具曲面的一個離散點出發(fā)，找出滿足嚙合要求的工件輪廓曲面上點的坐標；②僅給出了離散點坐標，此時可采用三次樣條函數(shù)的方法求出各點的切線斜率，從而將其轉(zhuǎn)化為第一種情況進行求解。有人提出根據(jù)刀具曲面的數(shù)學模型(解析式)來求解所加工工件輪廓的離散表面。刀具數(shù)學模型為
r1(1)=r0(1)+Ar2(2)AIn2(2)r0a+Aar2(2)=0式中，r1，r2為位置矢量，(i)表示在坐標系i中研究問題，r0為不同坐標系原點之間的距離，A為變換矩陣，In2為曲面法矢，a為運動參數(shù)，下標a為函數(shù)對a的求導。通過將上述數(shù)學模型轉(zhuǎn)化為計算模型，然后采用計算機區(qū)域搜索算法來求出刀具加工的離散表面。有人在研究離散齒面對應的嚙合齒面時，提出了數(shù)值化嚙合曲面的數(shù)學模型
¢[t,x1(u), y1(u), dx1(u)/du, dy1(u)/du]=A[t, x1(u), y1(u)]-B[t, x1(u), y1(u)]dy1(u)/du式中，x1，x2，y1，y2分別為曲面1和2上點的位置坐標，%為時間參數(shù)，’ 為幾何參數(shù)。通過將問題轉(zhuǎn)化為求每個離散點的導數(shù)dyi/dxi，然后采用對插值函數(shù)求導的方法加以解決。有人研究了對真實齒面(非理論解析式表達的、實際加工出來的齒面)與理論齒面進行嚙合分析時存在的問題，提出采用插補方法將真實齒面擬合為解析曲面進行研究的解決方法。數(shù)字化曲面展成問題的研究與上述問題有一定相似性，其關(guān)鍵是解決離散化問題，其理論依據(jù)是數(shù)字化共軛曲面原理。已知兩共軛曲面，可利用數(shù)值法求解對應的共軛運動。該問題可看作齒輪機構(gòu)分析的逆命題，即已知機構(gòu)簡圖和兩運動構(gòu)件齒面，用數(shù)值解法求解其運動規(guī)律。
數(shù)字化曲面展成是根據(jù)數(shù)字化曲面上的離散點找出與之對應的刀具解析面上的對應點，然后求出兩點分別通過各自的共軛運動到達共軛接觸點。曲面共軛必須滿足兩個基本條件：①接觸條件：r1=r2，e1=e2，即兩曲面的共軛點和曲面單位法矢分別重合，根據(jù)接觸條件可求出兩曲面通過各自運動到達接觸點；②連續(xù)傳動條件：e·v12=0(e⊥v12)。根據(jù)連續(xù)傳動條件可求出滿足連續(xù)接觸傳動的瞬時傳動比，由此可求出實際加工中所需的運動參數(shù)�，F(xiàn)對兩個基本條件的數(shù)學表達分析如下。
接觸條件
坐標系s1，s2分別與兩共軛曲面固連，s為固定靜止參考坐標系。設在坐標系s1，s2中給出兩曲面的方程。其中，刀具曲面的解析表達式為
{
r1=e1(u1, v1, w1)
f1(u1, v1, w1)=0
{
e1=(u1, v1, w1)
f1(u1, v1, w1)=0式中，u1，v1，w1為曲面位置坐標，其中只有兩個獨立變量。e1為刀具曲面在點(u1, v1, w1)處的單位法矢。
數(shù)字化曲面的解析表達式為數(shù)字化曲面位置坐標數(shù)據(jù)點的集合，即
r2={(u, v, w)|(ui，vi，wi)，i=0，…，n｝
e2為由數(shù)字化曲面上點(u, v, w)|(ui，vi，wi)所確定的單位法矢，因此可看作(u, v, w)|(ui，vi，wi)的表達式。由接觸條件可知
r1=r1(u1，v1，w1，a1)=r2(ui，vi，wi，a2)e1(u1，v1，w1，a1)=e2(ui，vi，wi，a2)式中，a1，a2為運動參數(shù)(即轉(zhuǎn)角)。為簡化起見，假設共軛運動為單參數(shù)運動，即共軛運動中的兩種運動(繞軸線的轉(zhuǎn)動和沿軸線的平動)均可用運動參數(shù)a表示。多參數(shù)運動的原理與此類似。
上述曲面方程可轉(zhuǎn)換為7個獨立方程，而未知參數(shù)有8個(ui，vi，wi，a2，u1，v1，w1，a1)，因此可用其中一個參數(shù)表達其它7個參數(shù)。數(shù)字化曲面的數(shù)據(jù)點(ui，vi，wi)已知，因此可用數(shù)字化曲面上的一點來確定兩共軛曲面的共軛運動。固定該參數(shù)的值，即可求出其它參數(shù)，它們都是ui的表達式。
連續(xù)傳動條件
假設刀具轉(zhuǎn)速恒定，被加工數(shù)字化曲面轉(zhuǎn)速為變速，可利用嚙合方程式求出傳動比i12=w1/w2。根據(jù)連續(xù)傳動條件有
e1·v12=e1·[(w1-w2)r1-Rw2]=0式中，w1為刀具的轉(zhuǎn)速，w2為數(shù)字化曲面的轉(zhuǎn)速，v12為兩共軛曲面的相對運動速度。在該方程中，徑矢r1和單位矢量e1已知，w2，w1方向已知，w2作用線上任一點的徑矢R的大小、方向已知，當給定w1的模，可求出w2的模，由此即可求出傳動比i12的大小。
采用上述方法可求出數(shù)字化曲面上一點所確定的兩共軛曲面對應點的共軛運動。同理可求出數(shù)字化曲面上所有點確定的共軛運動。最后對這些共軛運動進行一定的排序處理(如將任意轉(zhuǎn)角qi按遞增順序排列為刀具的遞增轉(zhuǎn)角進行加工)。
齒輪曲面是工程曲面中最典型的復雜曲面，齒輪加工在制造業(yè)中具有舉足輕重的關(guān)鍵地位，因此可利用數(shù)控的精密加工性能對數(shù)字化齒面進行展成加工，從而驗證數(shù)字化曲面展成方法的有效性。
3 結(jié)語
數(shù)字化曲面展成方法的研究突破了傳統(tǒng)的解析展成加工理論，對于齒輪的高精度、高效率加工具有重要的理論及實踐意義，其研究結(jié)果亦可直接用于未知齒面的仿形加工。數(shù)字化曲面展成方法的研究成果可為齒輪的CAD/CAM集成制造和數(shù)字化制造提供技術(shù)基礎(chǔ)，從而形成完整的齒輪數(shù)字化加工技術(shù)。
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