摘　要：關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的關(guān)節(jié)零位偏差是由裝配工藝誤差引起的，對(duì)測(cè)頭末端的空間位姿誤差影響極大。本文在建立六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，應(yīng)用全微分、最小二乘法和迭代算法等數(shù)學(xué)方法，建立了關(guān)節(jié)零位偏差的線性標(biāo)定算法，并通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算驗(yàn)證了該標(biāo)定算法的正確性。

關(guān)鍵詞：坐標(biāo)測(cè)量機(jī)　關(guān)節(jié)式　零位偏差　標(biāo)定

Calibration Algorithm of Joint Zero-position Deviations for 6 DOF Joint-type CMM

Ye Dong et al

Abstract：The joint zero-position deviations of joint-type CMM，which result from assembly technology errors，have an enormous influence on the pose errors of probe end．Therefore，a calibration algorithm of the joint zero-position deviations is proposed．On the basis of setting up mathematics model of 6 DOF joint-type CMM，a linear calibration algorithm by applying total differential，least square and iterative algorithm is presented．And the correctness of the calibration method is validated by the computer simulation．Keywords：CMM joint-type zero-position deviation calibration

　　1．引言

　　六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是一種新型的非笛卡爾式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)。它仿照人體關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)，以角度基準(zhǔn)取代長(zhǎng)度基準(zhǔn)，將六個(gè)桿件和一個(gè)測(cè)頭通過(guò)六個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)串聯(lián)連接，一端固定在機(jī)座上，另一端（測(cè)頭）可在空間自由運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成一個(gè)六自由度的封閉球形測(cè)量空間。與傳統(tǒng)的笛卡爾式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)相比，它具有機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，體積小，測(cè)量范圍大，靈活方便等優(yōu)點(diǎn)，主要應(yīng)用于CAD／CAM中三維模型表面數(shù)字化和大型零部件幾何尺寸的現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)等領(lǐng)域［1，2］�！　×�自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在裝配過(guò)程中，由于角度光電的零位與關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)的理論零位不重合而產(chǎn)生的角度偏差，稱為關(guān)節(jié)零位偏差。其特點(diǎn)是：各關(guān)節(jié)的零位偏差各不相同；由于裝配工藝誤差不可避免，關(guān)節(jié)零位偏差較大（約±3°）；對(duì)于每臺(tái)裝配好的關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)，各關(guān)節(jié)零位偏差值固定不變，屬于系統(tǒng)誤差。由于桿長(zhǎng)的放大作用，關(guān)節(jié)零位偏差在末端測(cè)頭處產(chǎn)生很大的位姿誤差。因此，為了補(bǔ)償關(guān)節(jié)零位偏差，提高測(cè)量精度，對(duì)關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)進(jìn)行標(biāo)定是非常重要的。

　　2．?dāng)?shù)學(xué)模型

圖　六自由度關(guān)節(jié)式坐

　　標(biāo)測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)模型六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)從機(jī)械結(jié)構(gòu)上可以看成是串聯(lián)的開(kāi)式運(yùn)動(dòng)鏈。其結(jié)構(gòu)模型如圖所示（各坐標(biāo)系的Y軸由“右手法則”確定）�！　�參見(jiàn)圖示，將測(cè)頭局部坐標(biāo)系O7-X7Y7X7相對(duì)于基座參考坐標(biāo)系O0-X0Y0Z0的位姿記為T07，這是一個(gè)4×4的齊次矩陣，可描述為

T07＝A01A12A23A34A45A56A67　　　　　　　�。�1）

式中，Ai-1i（i＝1，…，7）是桿件i相對(duì)于桿件i－1的齊次位姿變換矩陣。Denavit和Hartenberg在1995年提出了兩個(gè)相互連接且相對(duì)運(yùn)動(dòng)的構(gòu)件之間相互關(guān)系的分析方法，并給出了相應(yīng)的齊次變換矩陣［3］，即

　　　　　　�。�2）

式中，θi是關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角，這里是變量，稱為關(guān)節(jié)變量；φi是相鄰關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸線的夾角，這里近似為直角；ai是相鄰關(guān)節(jié)軸線沿空間公垂線的距離，這里近似為0；di是相鄰桿件坐標(biāo)原點(diǎn)沿Z軸之間的距離，這里稱為桿長(zhǎng)。　　對(duì)于多關(guān)節(jié)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)，測(cè)頭在空間的姿態(tài)并不重要，而測(cè)頭的空間位置坐標(biāo)則是需要得到的。將式（1）、（2）合并后，測(cè)頭位置坐標(biāo)方程為

　　P＝（R1R2R3R4R5R6）q7＋（R1R2R3R4R5）q6＋R1R2R3R4）q5　　　�。�（R1R2R3）q4＋（R1R2）q3＋R1q2＋q1　　　　　　　　　　　�。�3）

式中包括三個(gè)坐標(biāo)分量方程，都是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，即

P＝F（θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6）　　　　　　�。�4）

　　為了得到關(guān)節(jié)零位偏差與測(cè)頭位置誤差之間的關(guān)系，假設(shè)關(guān)節(jié)零位偏差足夠小，對(duì)式（4）求全微分，近似得到測(cè)頭位置誤差方程為［4］

　　　　�。�5）

　　將式（5）用矩陣方式簡(jiǎn)單描述，即

ΔP＝JδΔδ　　　　　（6）

式中　ΔP＝（ΔPx　ΔPy　ΔPz）T　　

　　Δδ＝（Δθ1　Δθ2　Δθ3　Δθ4　Δθ5　Δθ6）T

　　由式（4）和式（6）即可得到描述關(guān)節(jié)零位偏差與測(cè)頭位置誤差之間關(guān)系的線性方程。　　3．標(biāo)定算法　　為測(cè)定各關(guān)節(jié)零位偏差值，需要一系列已知標(biāo)準(zhǔn)位置坐標(biāo)，這些標(biāo)準(zhǔn)位置坐標(biāo)可以通過(guò)高精度的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)得。設(shè)有m個(gè)標(biāo)準(zhǔn)位置坐標(biāo)，關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)頭分別觸測(cè)這些標(biāo)準(zhǔn)位置，由光電編碼器分別得到相應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，將這些關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角分別代入方程式（4），計(jì)算出測(cè)頭的理論位置坐標(biāo)，然后與標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)比對(duì)，得到m個(gè)測(cè)頭位置誤差。把這些數(shù)據(jù)代入式（6），可得到3×m個(gè)位置誤差方程，即

ΔQ＝GΔδ　　　　�。�7）

其中

式（7）中有6個(gè)未知量，只要3×m＞6，則可運(yùn)用最小二乘法求解出關(guān)節(jié)零位偏差，即

Δδ＝（GTG）－1GTΔQ　　　　�。�8）

　　把計(jì)算出的關(guān)節(jié)零位偏差值作為零位偏差的修正量代入式（4），計(jì)算出新的測(cè)頭位置坐標(biāo)，然后將新的位置誤差和新的系數(shù)矩陣代入式（7），再重復(fù)式（8）的計(jì)算。經(jīng)過(guò)以上的反復(fù)迭代過(guò)程，直到測(cè)頭位置誤差小于設(shè)定值，最后獲得最優(yōu)解，即最接近實(shí)際的關(guān)節(jié)零位偏差值。

　　4．仿真驗(yàn)算

　　為了進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)算，首先設(shè)定六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)（φi，ai，di），并假設(shè)關(guān)節(jié)零位偏差（Δθi），具體數(shù)值列于表1。

表1　六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)

　　在驗(yàn)算中，對(duì)標(biāo)定算法重復(fù)進(jìn)行了三次仿真計(jì)算。每次隨機(jī)選取3組關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角組合，根據(jù)表1中的結(jié)構(gòu)參數(shù)和關(guān)節(jié)零位偏差，按式（4）計(jì)算出3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)際）的空間坐標(biāo)矢量。同時(shí)，不考慮零位偏差，計(jì)算出3個(gè)理論坐標(biāo)矢量，并得到相應(yīng)的誤差矢量。根據(jù)式（5）、（6）、（7），可得到9個(gè)誤差方程。利用式（8）求解出6個(gè)關(guān)節(jié)零位偏差值。為了獲得更準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，采用迭代算法，將計(jì)算出的關(guān)節(jié)零位偏差值代入式（4）修正理論模型，重復(fù)以上過(guò)程，直到空間位置誤差小于一設(shè)定值（這里設(shè)為0．3mm）。三次仿真計(jì)算的結(jié)果列于表2。

表2　仿真驗(yàn)算結(jié)果

　　由仿真驗(yàn)算結(jié)果可得出以下結(jié)論：　　（1）較小的關(guān)節(jié)零位偏差會(huì)引起很大的測(cè)頭位置誤差，最大可達(dá)73．57mm；　　（2）本文給出的標(biāo)定算法是正確的，經(jīng)標(biāo)定得出的關(guān)節(jié)零位偏差值與設(shè)定的真值近似，最大誤差為0．02°；　�。�3）迭代算法是收斂的，一般不超過(guò)4次迭代；　�。�4）三次仿真計(jì)算所得結(jié)果相同，說(shuō)明只要在測(cè)量空間任取三點(diǎn)，即可準(zhǔn)確且唯一地標(biāo)定出6個(gè)關(guān)節(jié)零位偏差。

　　5．結(jié)語(yǔ)

　　本文在Denavit-Hartenberg方法基礎(chǔ)上，建立了六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的數(shù)學(xué)模型。從模型可以看出，測(cè)頭末端位置坐標(biāo)與六個(gè)關(guān)節(jié)角度之間的關(guān)系是非線性的，這對(duì)于由已知空間坐標(biāo)值來(lái)推算關(guān)節(jié)零位偏差是相當(dāng)困難的。因此，我們運(yùn)用全微分方法，求得了關(guān)節(jié)零位偏差與測(cè)頭末端位置誤差之間的線性關(guān)系，從而大大簡(jiǎn)化了標(biāo)定過(guò)程。在已知空間點(diǎn)坐標(biāo)情況下，應(yīng)用最小二乘法和有限次數(shù)的迭代運(yùn)算，求出最優(yōu)的關(guān)節(jié)零位偏差值。最后，通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)算，證明了該算法的正確性。該標(biāo)定算法也完全適用于結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差的標(biāo)定。該標(biāo)定算法對(duì)提高六自由度關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)量精度具有重要意義。