摘　要　目的　研究基于Stewart機(jī)構(gòu)的并聯(lián)加工機(jī)的插補(bǔ)算法。方法　利用通常的時(shí)間分割插補(bǔ)算法思想和并聯(lián)加工機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，求解運(yùn)動(dòng)軌跡與6根伸縮桿之間的關(guān)系，導(dǎo)出一種插補(bǔ)算法，并采用面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)方法編制仿真軟件，通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證該插補(bǔ)算法的可用性。結(jié)果與結(jié)論　對(duì)球面類(lèi)和雙曲面類(lèi)零件加工過(guò)程仿真結(jié)果表明，所提出的插補(bǔ)算法是正確、實(shí)用的，為并聯(lián)加工機(jī)提供一種新的可行的插補(bǔ)算法�！　￡P(guān)鍵詞　Stewart機(jī)構(gòu)；并聯(lián)加工機(jī)；逆運(yùn)動(dòng)學(xué)；插補(bǔ)算法；軌跡規(guī)劃　　分類(lèi)號(hào)　TH161.22；TP271.2

Interpolation Algorithm of Parallel ConnectedMachine Tool Based on Stewart Mechanism

Zhang Junliang Zhang Jianmin Hao Juan Jiang Ming Wang Xinyi(School of Mechanical Engineering and Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing　100081)

　　Abstract　Aim　To research the interpolation algorithm of parallel connected machine tool based on stewart mechanism.Methods The common idea of time-discrete interpolation algorithm and the inverse kinematics model of parallel connected machine tool were used to evaluate the relation between tool motion path and six telescopic legs and to derive one kind of interpolation algorithm.Object oriented program design method was adopted to work out the simulation software and the availability of the interpolation algorithm was testified by computer simulation.Results and Conclusion Simulation results of machining process of sphere parts and one-sheet-hyperboloid parts show that the interpolation algorithm proposed is correct and practical, providing a new and feasible interpolation algorithm for parallel connected machine tool.　　Key words　stewart mechanism; parallel connected machine tool; inverse kinematics; interpolation algorithm; path planning

　　基于Stewart機(jī)構(gòu)的并聯(lián)加工機(jī)是一種新穎的、具有廣闊前景的。與普通相比具有幾個(gè)顯著的特點(diǎn)：切削力由6根擔(dān)，且僅受拉力或壓力，因而機(jī)床變形小，承載能力強(qiáng)；機(jī)構(gòu)剛度好，運(yùn)動(dòng)部件的重量輕，故慣性小，可以進(jìn)行較高的加減速運(yùn)動(dòng)；沒(méi)有，可以排除通常的幾何誤差及磨損等對(duì)精度的影響，因此可獲得很高的加工精度�！　∮捎谇蠼釹tewart機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)［1，2］(根據(jù)末端的位置和姿態(tài)，求解各個(gè)關(guān)節(jié)變量的值)較簡(jiǎn)單，且符合機(jī)構(gòu)位置控制思想。故可利用該特點(diǎn)建造并聯(lián)加工機(jī)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

1　并聯(lián)加工機(jī)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

　　并聯(lián)加工機(jī)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)由兩部分組成，即Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)和刀具位姿與并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)位姿之間的關(guān)系。

　　Stewart機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。設(shè)動(dòng)平臺(tái)中心O′和動(dòng)平臺(tái)的球鉸中心Pi點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xO,yO,zO)T,(xi,yi,zi)T，而Pi點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xPi,yPi,zPi)，定平臺(tái)的球鉸中心bi在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(di,ei,fi)(i=1,2,…,6)，則下式成立：

［xi yi zi］T=T［xPi yPi zPi］T+［xO yO zO］T，　　　　　　　　　　(1)

圖1　Stewart機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

式中　T是用歐拉角α，β，γ表示的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，

　　由兩點(diǎn)間的距離公式得出

　　設(shè)在與動(dòng)平臺(tái)固聯(lián)的動(dòng)坐標(biāo)系中，刀具刀尖點(diǎn)Pt的相對(duì)坐標(biāo)為(xPt,yPt,zPt)=(0,0,-lt),lt為刀尖至O′的距離。則

［xO yO zO］T=T［xt yt zt］T+［T13 T23 T33］Tlt�！　　　　　　　�(4)

　　設(shè)刀具軸線(xiàn)的單位矢量為nx,ny,nz,刀具與固定坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的方向余弦角為θx,θy,θz�！　∫�?yàn)樾�轉(zhuǎn)矩陣式(2)的最后一列正好是動(dòng)坐標(biāo)系z(mì)軸的單位矢量，所以也與刀具軸線(xiàn)的單位矢量相重合。

α=±arcsin(cosθx/sinθz), β=±θz。　　　　　　　　　　　　(5)

　　當(dāng)ny≥0時(shí)，式(5)取負(fù)號(hào)；當(dāng)ny＜0時(shí)，式(5)取正號(hào)。當(dāng)歐拉角γ=-α?xí)r，動(dòng)平臺(tái)不繞剛體坐標(biāo)系z(mì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣既減少了運(yùn)算量，又在很大程度上避免6根伸縮桿之間的干涉。

2　基于并聯(lián)加工機(jī)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的時(shí)間分割插補(bǔ)算法

　　時(shí)間分割法即數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)法［3］，是把加工一段直線(xiàn)或圓孤的整段時(shí)間細(xì)分為許多相等的時(shí)間間隔，稱(chēng)為單位時(shí)間間隔(或插補(bǔ)周期)。每經(jīng)過(guò)1個(gè)單位時(shí)間間隔進(jìn)行1次插補(bǔ)計(jì)算，算出在這一時(shí)間間隔內(nèi)各坐標(biāo)軸的進(jìn)給量，邊計(jì)算邊加工，直到加工終點(diǎn)。此算法的核心是求刀具運(yùn)動(dòng)軌跡與6根伸縮桿之間的幾何關(guān)系。

2.1　直線(xiàn)插補(bǔ)算法

　　選定CNC的插補(bǔ)周期及確定進(jìn)給速度之后，輪廓步長(zhǎng)f就隨之確定。因此，只要求出各插補(bǔ)周期末刀具的位置和姿態(tài)即可用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出6根桿的伸縮增量，直線(xiàn)插補(bǔ)示意圖示于圖2。

圖2　直線(xiàn)插補(bǔ)示意圖

　　設(shè)直線(xiàn)與z軸的夾角為γ，其投影與x軸的夾角為α，則輪廓步長(zhǎng)f()在3個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為fsinγcosα，fsinγsinα，fcosγ。設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(xB,yB,zB)，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為

xC=xB+fsinγcosα,yC=yB+fsinγsinα,zC=zB+fcosγ．　　　　　　(6)

　　刀具有定姿態(tài)和變姿態(tài)兩種給定方式：定姿態(tài)方式不需要計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣，運(yùn)算量較��；變姿態(tài)方式需要求出插補(bǔ)周期末刀具的姿態(tài)，計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣，運(yùn)算量較大。有了刀具的位姿即可用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求6根伸縮桿的伸縮增量［4］。

2.2　圓弧插補(bǔ)算法

　　圓弧插補(bǔ)也需要求出插補(bǔ)周期末刀尖的坐標(biāo)和刀具的姿態(tài)。圓弧插補(bǔ)示意圖如圖3所示。設(shè)圓弧所在平面過(guò)z軸，并且圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合。則輪廓步長(zhǎng)f(，并設(shè)，)在3個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為fcos(γ+Δγ/2)cosα，fcos(γ+Δγ/2)sinα，-fsin(γ+Δγ/2)，Δγ=f/r(r為圓弧半徑)。

圖3　圓弧插補(bǔ)示意圖

　　設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(xB,yB,zB)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

　(7)

　　空間曲面(以球頭銑球面為例)的加工，一般選擇刀具的姿態(tài)(刀具軸線(xiàn))與圓弧所在曲面的切平面垂直，根據(jù)曲面方程確定刀具的姿態(tài)。刀具的位姿確定后，運(yùn)用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求6根伸縮桿的伸縮增量�！　∮捎诓逖a(bǔ)算法中包含Stewart機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)算，直線(xiàn)插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)的計(jì)算量都比數(shù)控機(jī)床的直線(xiàn)插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)計(jì)算量大。這說(shuō)明基于空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)床的機(jī)械結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單，而數(shù)學(xué)分析非常復(fù)雜［5，6］。

3　仿　真

　　該仿真程序采用面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)方法，用Visual C++ MFC編寫(xiě)。目的是為了檢驗(yàn)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型及插補(bǔ)算法的正確性。用球面類(lèi)零件檢驗(yàn)圓弧插補(bǔ)算法，用單葉雙曲面類(lèi)零件來(lái)檢驗(yàn)直線(xiàn)插補(bǔ)算法。圖4為6桿插補(bǔ)算法的流程框圖。Stewart機(jī)構(gòu)參數(shù)為：動(dòng)平臺(tái)半徑為400mm，定平臺(tái)半徑為500mm，兩平臺(tái)長(zhǎng)短邊比均為0.365，伸縮軸的最大長(zhǎng)度為1500mm，最短長(zhǎng)度為600mm，軸的直徑為40mm。對(duì)于球面類(lèi)零件取半徑為100mm，角度為60°，位置為980mm。刀具長(zhǎng)度為30mm，直徑為5mm。對(duì)于單葉雙曲面類(lèi)零件取半徑為100mm，角度為20°，位置為980mm。刀具長(zhǎng)度為200mm，直徑為5mm。通過(guò)仿真，驗(yàn)證了基于并聯(lián)加工機(jī)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的插補(bǔ)算法的正確性。

圖4　插補(bǔ)算法流程框圖